O prawdziwych paradoksach

Czy Achilles może dogonić żółwia? Czy lecący w kosmos bliźniak wróci młodszy od swojego brata? Kto powinien ogolić fryzjera, który goli wszystkich i tylko tych mężczyzn, którzy nie golą się sami?

Paradoksem nazywamy zwykle coś zaskakującego, sprzecznego z intuicją albo pozornie niemożliwego. Dr Piotr Chrząstowski-Wachtel pokazuje jednak, że wiele słynnych „paradoksów” wcale nie prowadzi do prawdziwej sprzeczności. Część z nich można wyjaśnić za pomocą matematyki, fizyki lub dokładnej analizy założeń.

W pierwszej części wykładu prowadzący przygląda się paradoksom Zenona z Elei. Zgodnie z jednym z nich strzała nie powinna nigdy dotrzeć do celu, ponieważ wcześniej musi pokonać połowę drogi, potem połowę pozostałego odcinka i tak bez końca. Podobnie Achilles miałby nigdy nie dogonić żółwia. Rozwiązanie kryje się w nieskończonych sumach, których wynik może być skończony.

Kolejnym przykładem jest paradoks bliźniąt związany z teorią względności. Jeden z braci wyrusza w podróż z prędkością bliską prędkości światła, a po powrocie okazuje się młodszy od bliźniaka, który pozostał na Ziemi. Dlaczego sytuacja obu braci nie jest symetryczna i co ma z tym wspólnego przyspieszenie?

Pojawiają się także problemy z rachunku prawdopodobieństwa, między innymi paradoks petersburski. Czy gra może mieć nieskończoną wartość oczekiwaną, choć nikt rozsądny nie zapłaciłby za udział w niej dowolnie wysokiej kwoty? Przykład pokazuje, że matematyczny model nie zawsze pokrywa się z naszymi codziennymi decyzjami.

W zasadniczej części wykładu prowadzący przechodzi do prawdziwych antynomii, czyli rozumowań prowadzących do sprzeczności. Omawia paradoks Russella dotyczący zbioru wszystkich zbiorów, które nie zawierają samych siebie, oraz jego popularną wersję znaną jako paradoks fryzjera.

Czy fryzjer, który goli wszystkich i tylko tych mężczyzn, którzy nie golą się sami, powinien ogolić również siebie? Każda odpowiedź prowadzi do sprzeczności. Podobny mechanizm pojawia się w paradoksie kłamcy, zawartym w zdaniu: „To zdanie jest fałszywe”.

Wykład pokazuje, że paradoksy nie są jedynie intelektualnymi zabawami. Ich odkrywanie prowadziło do zmian w logice, matematyce i sposobie formułowania definicji. Uczy także ostrożności wobec zdań, które odnoszą się do samych siebie, oraz ukrytych założeń obecnych w pozornie poprawnych rozumowaniach.

Dr Piotr Chrząstowski-Wachtel – matematyk i informatyk związany z Wydziałem Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego.

Wykład został nagrany podczas Dnia Odkrywców Kampusu Ochota Uniwersytetu Warszawskiego 16 marca 2019 roku.

#paradoksy #matematyka #logika #paradoksRussella #paradoksfryzjera #paradokskłamcy #ZenonZElei #teoriawzględności #rachunekprawdopodobieństwa #informatyka #UniwersytetWarszawski #DOKO #Wszechnica