O nieskończonościach

Czy wszystkie nieskończoności są jednakowo wielkie? Jak w przepełnionym hotelu można znaleźć miejsce dla kolejnego gościa? I dlaczego liczb rzeczywistych jest więcej niż naturalnych, choć oba zbiory nie mają końca?

Dr Michał Korch wprowadza w świat matematycznej nieskończoności – pojęcia, które wymyka się codziennej intuicji, ale daje się precyzyjnie badać i porównywać.

Punktem wyjścia są ogromne liczby. Prowadzący pokazuje, jak wielki jest googol, czyli jedynka ze stoma zerami, i uświadamia, że nawet liczba atomów w obserwowalnym Wszechświecie jest od niego znacznie mniejsza. Jednak bez względu na to, jak wielką liczbę skończoną wybierzemy, do nieskończoności wciąż pozostaje nieskończenie daleko.

Jak więc matematycy rozumieją wielkość nieskończonych zbiorów? Zamiast liczyć ich elementy, łączą je w pary. Jeśli każdemu elementowi jednego zbioru można przyporządkować dokładnie jeden element drugiego, uznaje się, że oba zbiory mają tę samą liczebność.

Tę niezwykłą zasadę ilustruje hotel Hilberta. Ma on nieskończenie wiele jednoosobowych pokoi i wszystkie są zajęte. Mimo to można przyjąć nowego gościa – wystarczy każdą osobę przenieść z pokoju numer $n$ do pokoju $n+1$. Możliwe jest nawet zakwaterowanie nieskończenie wielu nowych osób, jeśli odpowiednio przeorganizuje się dotychczasowych mieszkańców.

Wykład pokazuje także, że liczb naturalnych, całkowitych i wymiernych jest – w matematycznym sensie – tyle samo. Choć liczby wymierne wydają się znacznie liczniejsze i można znaleźć je pomiędzy dowolnymi dwiema liczbami, da się je uporządkować w nieskończony ciąg.

Sytuacja zmienia się w przypadku liczb rzeczywistych. Dr Michał Korch przedstawia rozumowanie pokazujące, że nie można ich wszystkich ustawić na jednej liście. Oznacza to, że istnieją nieskończoności większe od innych, a punktów na odcinku jest więcej niż liczb naturalnych.

Czy nieskończony zbiór może mieć tyle samo elementów co jego część? Dlaczego liczb parzystych jest tyle samo co wszystkich liczb naturalnych? Czy pomiędzy nieskończonością liczb naturalnych a nieskończonością liczb rzeczywistych istnieje jeszcze jakaś inna wielkość?

Wykład pokazuje, że nieskończoność nie jest po prostu „bardzo dużą liczbą”. To rozbudowany świat matematycznych pojęć, w którym intuicja często zawodzi, a pozornie niemożliwe operacje stają się całkowicie logiczne.

Dr Michał Korch – matematyk związany z Wydziałem Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego.

Wykład został nagrany podczas Dnia Odkrywców Kampusu Ochota Uniwersytetu Warszawskiego 16 marca 2019 roku.

#nieskończoność #matematyka #hotelHilberta #zbiory #liczbynaturalne #liczbyrzeczywiste #liczbywymierne #teoriazbiorów #paradoksy #nauka #UniwersytetWarszawski #DOKO #Wszechnica